VI. Supposons actuellement, afin de reconnaître quel est le degré de la polaire réciproque d’une courbe donnée, que l’on trace arbitrairement dans son plan une ligne droite quelconque ; cette droite la rencontrera, en général, comme l’on sait, en autant de points que son degré renfermera d’unités. Or, d’après ce qui précède, chacun de ces points est le pôle d’une certaine tangente à la courbe donnée ; et, par la théorie des pôles (V), cette tangente passe nécessairement par le pôle de la droite arbitraire ; donc cette dernière rencontrera la polaire réciproque dont il s’agit en autant de points qu’on pourra, par son pôle, mener de tangentes à la courbe donnée. La question se trouve donc ainsi ramenée à cette autre.
VII. Combien, d’un point donné arbitrairement, sur le plan d’une courbe quelconque, peut-on mener de tangentes à cette courbe ?
Dans le cas où la courbe est transcendante, on sait qu’en général on peut lui mener, d’un point donné, une infinité de tangentes réelles ou imaginaires ; donc, la polaire réciproque qui lui correspond sera susceptible d’être coupée en un pareil nombre de points, réels ou imaginaires, par une droite arbitraire tracée dans son plan (VI), et sera par conséquent transcendante elle-même comme la proposée ; mais ce n’est pas là le cas qui nous intéresse ; passons donc à celui où la courbe proposée est algébrique.
Dans ce cas, en désignant par le degré de la courbe dont il s’agit, le nombre des tangentes possibles, partant d’un même point, sera fini ; et, suivant Waring[1], il ne saurait surpasser le quarré de Mais nous allons faire voir que le nombre effectif de ces tangentes est, en général, et au plus ce qui diminue de le nombre indiqué par ce géomètre.
- ↑ Micellaneæ analiticæ, page 100.
