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QUESTIONS

ligne varie en même temps qu’un certain paramètre, qui entre dans son équation, on obtient une nouvelle relation, appartenant au point correspondant de l’enveloppe, c’est-à-dire, appartenant au point où la touche cette ligne, en différenciant son équation, par rapport à ce paramètre, comme variable, et regardant les coordonnées courantes comme constantes. Différenciant donc l’équation (5) par rapport à $\alpha ,$ et laissant $x$ et $y$ constantes, il viendra cette nouvelle équation

$2{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}y+2Ax+B=0,$

qui servira, conjointement avec celle ci-dessus, à donner les coordonnées $x,y,$ d’un point de la courbe cherchée, quand $\alpha ,\beta$ et ${\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}$ seront connus

On obtiendra la valeur de ${\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }},$ en différenciant l’équation (4), par rapport à $\alpha$ et $\beta ,$ ce qui donnera

${\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }}=-{\frac {2A\alpha +B}{2\beta }}.{\frac {k^{2}\left[4A\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}\right]-2B^{2}}{Ak^{2}\left[4A\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}\right]-2B^{2}}}.$

Substituant cette valeur dans l’équation trouvée ci-dessus, elle deviendra

${\begin{aligned}(2A\alpha +B)&\left\{\ \ \,k^{2}\left[4A\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}\right]-2B^{2}\right\}y\\-2A\beta &\left\{Ak^{2}\left[4A\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}\right]-2B^{2}\right\}x\\-\ \,B\beta &\left\{Ak^{2}\left[4A\left(\beta ^{2}+\alpha ^{2}\right)+4B\alpha -B^{2}\right]-2B^{2}\right\}=0.\qquad (\mathrm {6} )\\\end{aligned}}$

Cette dernière équation et l’équation (5) devant, d’après ce qui précède, donner conjointement un point ($x,y$) de la courbe cherchée, quand on y mettra, pour $\alpha$ et $\beta ,$ des valeurs qui conviennent à l’équation (4) ; il s’ensuit que, en éliminant $\alpha$ et $\beta$ entre ces trois équations, on obtiendra, en $x$ et $y,$ l’équation même de cette courbe.