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RÉSOLUES.

$16yy'+4\left[B\left(2+k^{2}\right)-4k^{2}x'\right]x+4B\left(2+k^{2}\right)x'-k^{2}B^{2}=0,$

Si l’on y substitue pour $y'$ et $x'$ leurs valeurs $0$ et $-{\frac {B^{2}}{4}},$ qui appartiennent, comme nous l’avons vu ci-dessus, au foyer de l’hyperbole qui lui est commun avec la parabole donnée, elle deviendra

$4x-B=0\,;$

équation qui appartient précisément à la polaire focale de la parabole dont il s’agit, comme on s’était proposé de le démontrer.

III. Passons maintenant à la solution de la seconde partie du problème proposé : celle où il s’agit de trouver la nature de la courbe enveloppe de la corde de contact de l’angle mobile et constant circonscrit, dans toutes les positions de cet angle.

Je remarque d’abord que la corde dont il s’agit n’est autre chose que la polaire du sommet mobile ($\alpha ,\beta ,$) et que de plus la courbe que parcourt ce sommet est déjà connue par ce qui précède ; d’où il suit que la question se trouve naturellement ramenée à celle-ci :

Le pôle d’une section conique étant assujetti à parcourir une courbe donnée, quelle sera la courbe enveloppe de la polaire de ce point, dans toutes ses positions ?

On trouve facilement, par la théorie des pôles, que, pour la courbe (1), la polaire qui répond à un point ($\alpha ,\beta ,$) a pour équation

$2\beta y+(2A\alpha +B)x+B\alpha =0.$

Dans cette équation, $\beta$ est une fonction de $\alpha ,$ en vertu de l’équation (4) ; or, d’après la théorie des enveloppes^[1], quand une

1. Voyez la page 361 du troisième volume de ce recueil.
   J. D. G.