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RÉSOLUES.

D’un autre côté les équations des trois sommets de la face hypothénusale seront respectivement

$\left\{{\begin{aligned}&x=2a,\\&y=0,\\&z=0\,;\\\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=2b,\\&z=0\,;\\\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}&x=0,\\&y=0,\\&z=2c.\\\end{aligned}}\right.\qquad (3)$

En désignant donc par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les perpendiculaires abaissées de ces trois sommets sur le plan du grand cercle, et par $p$ la perpendiculaire abaissée sur le même plan du sommet de l’angle droit du tétraèdre, on aura

$\left.{\begin{aligned}\alpha =&+Aa-Bb-Cc,\\\beta =&-Aa+Bb-Cc,\\\gamma =&-Aa-Bb+Cc,\\p=&-Aa-Bb-Cc\,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad (4)$

d’où on conclura, comme ci-dessus,

$\alpha +\beta +\gamma =p.$

Chemin faisant, M. Vecten a rencontré le théorème suivant, que nous nous contenterons d’énoncer, en laissant au lecteur le plaisir d’en trouver la facile démonstration.

THÉORÈME. Le point où se croisent les perpendiculaires abaissées des sommets de la face hypothénusale d’un tétraèdre rectangle sur les côtés opposés est aussi le pied de la perpendiculaire abaissée sur le plan de cette face du sommet opposé du tétraèdre,.

Il est entendu que, dans le premier théorème, le mot somme doit être pris algébriquement.