Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/141

133

LOXODROMIE.

$-b\operatorname {d} t.\operatorname {\operatorname {Cot} } .\alpha ={\frac {b}{2}}\left\{{\frac {\operatorname {d} z}{1+z}}+{\frac {\operatorname {d} z}{1-z}}-{\frac {(a-b)\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z}}-{\frac {(a-b)\operatorname {d} z}{(a+b)-(a-b)z}}\right\}$

$+{\frac {2\left(a^{2}-b^{2}\right)\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}\,;$

ce qui donne, en intégrant,

$A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .(1+z)-\operatorname {Log} .(1-z)$

$-\operatorname {Log} .\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}+\operatorname {Log} .\left\{(a+b)-(a-b)z\right\}$

$+{\frac {4\left(a^{2}-b^{2}\right)}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}.$

ou encore

$A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {(1+z)\left\{(a+b)-(a-b)z\right\}}{(1-z)\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}}}+{\frac {4\left(a^{2}-b^{2}\right)}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}.$

Présentement, pour effectuer l’intégration indiquée dans le dernier terme, sans tomber dans les imaginaires, il est nécessaire de distinguer deux cas ; savoir : celui où le sphéroïde est alongé et celui où il est aplati ; c’est-à-dire, celui où l’on a $a>b,$ et celui où l’on a, au contraire, $a<b.$

I.^er Cas. Sphéroïde alongé. Dans ce cas, on a

${\frac {4\left(a^{2}-b^{2}\right)}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}-{\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} \left(z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right)}{1+\left(z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right)}}$

$={\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .=z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right\}\,;$

en sorte que l’intégrale totale est, pour ce cas

$A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {(1+z)\left\{(a+b)-(a-b)z\right\}}{(1-z)\left\{(a+b)+(a-b)z\right\}}}+$

${\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .=z{\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right).$

II.^me Cas. Sphéroïde aplati. Dans ce cas, on a