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LOXODROMIE.

$b\operatorname {d} t\operatorname {Cot} .\alpha ={\frac {\operatorname {d} r.{\sqrt {(a^{2}-b^{2})r^{2}+b^{4}}}}{r{\sqrt {b^{2}-r^{2}}}}}.\qquad$(IX)

équation séparée, qu’il s’agit présentement d’intégrer.

Pour faire disparaître le radical du numérateur, posons d’abord

${\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}}}=rx+b^{2}\,;$

ce qui donnera, en quarrant et réduisant

$\left(a^{2}-b^{2}\right)r=rx^{2}+2b^{2}x\,;$

d’où on tirera

$r={\frac {2b^{2}x}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}}\,;$

donc

${\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}}}=rx+b^{2}=b^{2}.{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}},$

${\sqrt {b^{2}-r^{2}}}={\frac {b{\sqrt {(a^{2}-b^{2})^{2}-2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+x^{4}}}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}}},$

$\operatorname {d} r=2b^{2}.{\frac {\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}}{\left[\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}\right]^{2}}}\operatorname {d} x.$

Substituant ces valeurs dans l’équation (IX), elle pourra être mise alors sous la forme

$2\operatorname {d} t.\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {2x\operatorname {d} x.\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)+x^{2}\right\}^{2}}{x^{2}\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)-x^{2}\right\}{\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)-2\left(a^{2}+b^{2}\right)x^{2}+x^{4}}}}}$

posant ensuite $x^{2}=y$ d’où $2x\operatorname {d} x=\operatorname {d} y\,;$ elle se réduira à

$2\operatorname {d} t.\operatorname {Cos} .\alpha ={\frac {\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)+y\right\}^{2}\operatorname {d} y}{y\left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)-y\right\}{\sqrt {\left\{y-(a+b)^{2}\right\}\left\{y-(a-b)^{2}\right\}}}}}.$ (X)

Pour rendre cette dernière formule rationnelle, nous poserons