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LOXODROMIE

substituant donc dans l’équation (IV), elle deviendra, toutes réductions faites,

$r\operatorname {d} t.f'(z)=\operatorname {d} r.\operatorname {Tang} .\alpha .{\sqrt {4r^{2}+[f'(z)]^{2}}}\,;\qquad$(V)

et l’équation polaire de la courbe sera le résultat de l’élimination de $z$ entre cette équation et l’équation

$r^{2}=f(z).\qquad$(VI)

Sortons présentement de ces généralités, et supposons que la surface de révolution dont il s’agit est celle d’un sphéroïde elliptique, engendré par une ellipse dont les deux diamètres principaux sont $2a$ et $2b,$ dont le centre soit à l’origine et dont le diamètre $2a$ soit dans l’axe de révolution ; l’équation de ce sphéroïde sera

$x^{2}+y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-z^{2}\right)\,;$

nous aurons donc ici

$r^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}(a^{2}-z^{2})\,;\qquad$(VII)

donc

$f(z)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}(a^{2}-z^{2}),$ d’où $f'(z)=-2{\frac {b^{2}}{a^{2}}}z\,;\qquad$(VIII)

en conséquence, l’équation (V) deviendra, en réduisant

$-b^{2}rz\operatorname {d} t=\operatorname {d} r.\operatorname {Tang} .\alpha {\sqrt {a^{4}r^{2}+b^{4}z^{2}}},$

quarrant et éliminant $z$ au moyen de l’équation (VII), il viendra enfin

$b^{2}r^{2}\left(b^{2}-r^{2}\right)\operatorname {d} t^{2}=\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \left\{\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}\right\}\operatorname {d} r^{2},$

d’où on tire