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LOXODROMIE

${\frac {2f(z')+\left(x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\left\{4[f(z')]^{2}+\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}\right\}}}}=\operatorname {Cos} .\alpha \,;$

ou bien, en vertu des équations (1, 8)

${\frac {4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}}{2{\sqrt {f(z')\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\left\{4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}\right\}}}}}=\operatorname {Cos} .\alpha \,;$

ou, en réduisant et multipliant par $2$

${\sqrt {\frac {4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}}{f(z')\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}}}}=2\operatorname {Cos} .\alpha \,;$

ou enfin, en quarrant et chassant le dénominateur

$4f(z')+\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}=4f(z').\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .$ (9)

La trajectoire cherchée sera donc déterminée par cette dernière équation, jointe aux équations (1, 8).

Mais présentement, que les coordonnées courantes ont totalement disparu, nous pouvons nous délivrer des accens ; en remplaçant en outre par $f'(z)$ le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} f(z)}{\operatorname {d} z}},$ nous aurons finalement, pour les équations du problème