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LOXODROMIE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Supposons présentement que le point $(x',y',z')$ soit un de ceux de la trajectoire cherchée ; les équations de la tangente à cette trajectoire en ce point seront de la forme

$x-x'={\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),\qquad y-y'={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}(z-z')\,;\qquad$(7)

les deux coefficiens différentiels ${\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}},{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}$ devant être déterminés par ces conditions, 1.^o que cette tangente soit sur le plan tangent (4) ; 2.^o qu’elle fasse avec l’autre tangente (6) un angle constant que nous représenterons par $\alpha .$

Pour exprimer que la première de ces deux conditions est satisfaite, il ne s’agit que d’admettre que les équations (4, 7) ont lieu en même temps ; ce qui donne, par l’élimination de $(x-x')$ et $(y-y')$ et la division par $(z-z')$

$2x'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+2y'{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\,;\qquad$(8)

équation qui n’est, au surplus, que la différentielle de l’équation (1) prise par rapport à $z'.$

Quant à la seconde condition, elle se déduit de l’inspection des équations (4, 7) et de la formule connue qui donne le cosinus de l’angle de deux droites. On obtient ainsi

${\frac {2f(z')+x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}\right)^{2}\right\}\left\{4[f(z')]^{2}+x'^{2}\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}+y'^{2}\left[{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}\right]^{2}\right\}}}}$

$=\operatorname {Cos} .\alpha \,;$

ou encore