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LOXODROMIE

$f$ désignant une fonction quelconque, dont la forme caractérise dans chaque cas particulier, la surface dont il s’agit.

Considérons, en particulier, sur cette surface, un point $(x',y',z')\,;$ nous aurons d’abord, pour ce point,

$x'^{2}+y'^{2}=f(z')\qquad$(1)

Nous aurons ensuite, en différentiant,

$2x'={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}},\quad (2)\quad 2y'={\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}.{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}\,;\quad (3)$

en conséquence, l’équation du plan tangent an ce point sera

$(z-z'){\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}=2x'(x-x')+2y'(y-y')\,;\qquad$(4)

mais l’équation du plan du méridien, pour ce même point, est

$x'(x-x')=y'(y-y')\,;\qquad$(5)

le système de ces deux équations appartient donc à la tangente au méridien au point $(x',y',z')\,;$ de sorte qu’en éliminant successivement entre elles $y-y'$ et $x-x',$ on pourra prendre pour les équations de cette tangente

$2\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(x-x')=x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),$

$2\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(y-y')=y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z')\,;$

ou encore, en vertu de l’équation (1)

$\left.{\begin{aligned}2(x-x')f(z')=x'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z'),&\\\\2(y-y')f(z')=y'{\frac {\operatorname {d} f(z')}{\operatorname {d} z'}}(z-z').&\\\end{aligned}}\right\}(6)$