Revenons à la propriété qui fait le sujet principal de cet article, et examinons, en particulier, les conséquences qui en résultent pour le cas où la section conique est une parabole.
Soit (fig. 3) le foyer ; soient deux tangentes quelconques données, et une troisième tangente mobile de la parabole dont il s’agit. D’après ce qui a été dit plus haut, l’angle vecteur est toujours constant et égal au supplément de l’angle des deux premières tangentes ; donc ce même angle sera égal à l’angle et par conséquent, si l’on trace le quadrilatère sera inscriptible au cercle. De là suit ce théorème :
VI. Un triangle étant circonscrit à une parabole ; si on lui circonscrit, à son tour, une circonférence de cercle, elle passera nécessairement par le foyer même de la courbe.
Donc, si l’on se donnait, à volonté, une quatrième tangente à la parabole, on obtiendrait immédiatement son foyer, en circonscrivant des circonférences de cercles à deux quelconques des quatre triangles formés par les rencontres mutuelles de cette nouvelle tangente avec les trois autres. Le point d’intersection de ces quatre circonférences, qui n’appartiennent à aucune des tangentes données, est évidemment un point unique par où elles passent toutes à la fois ; car une même parabole ne saurait avoir deux foyers à une distance finie[1].
Nous venons déjà de voir que l’angle est égal à l’angle qui est opposé à dans le triangle mais il est visible que ce même angle pourrait n’être qu’égal à son supplément, suivant la position de ce dernier ; donc
VII. Un triangle étant circonscrit à une parabole, l’angle sous lequel on voit, du foyer de la courbe, chacun des côtés de ce
- ↑ Ceci donne une nouvelle solution, extrêmement simple, du problème traité
à la page 308 du VII.e volume de ce recueil.
J. D. G.
