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PROBLÈME DES QUADRATURES.

Il est évident que, tant qu’on aura pris, pour chaque cas particulier, une valeur de $y$ comprise dans l’équation

$y=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\ldots +kx^{n},$

c’est-à-dire, une fonction rationnelle entière de $x$, dont le degré ne passe pas $n,$ on trouvera, pour $A,B,C,\ldots ,$ les mêmes valeurs que par le procédé ordinaire, décrit au commencement

${\begin{alignedat}{3}y_{0}+y_{4}=&{\frac {4}{4}},&\qquad y_{0}+y_{4}=&{\frac {16}{16}},&\qquad y_{0}+y_{4}=&{\frac {64}{64}},\\y_{1}+y_{3}=&{\frac {4}{4}},&y_{1}+y_{3}=&{\frac {10}{16}},&y_{1}+y_{3}=&{\frac {28}{64}},\\y_{2}=&{\frac {2}{4}},&y_{2}=&{\frac {4}{16}},&y_{2}=&{\frac {8}{64}}.\end{alignedat}}$

Les mêmes équations donneront

$\int y\operatorname {d} x=\int x\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}x^{2},\int y\operatorname {d} x=\int x^{2}\operatorname {d} x={\frac {1}{3}}x^{3},\int y\operatorname {d} x=\int x^{3}\operatorname {d} x={\frac {1}{4}}x^{4},$

qui, pris entre les limites $0$ et $1,$ deviendront

$\int y\operatorname {d} x={\frac {1}{2}},\quad \int y\operatorname {d} x={\frac {1}{3}},\quad \int y\operatorname {d} x={\frac {1}{4}}\,;$

substituant toutes ces valeurs dans la formule (K), on aura, pour déterminer $A,B,C,$ les trois équations

${\frac {1}{2}}={\frac {4A+4B+2C}{4}},\quad {\frac {1}{3}}={\frac {16A+10B+4C}{16}},\quad {\frac {1}{4}}={\frac {64A+28B+8C}{64}}\,;$

c’est-à-dire,

${\begin{array}{rr}2A+\ \,2B+\ \ C=1,&(1)\\24A+15B+6C=8,&(2)\\16A+\ \,7B+2C=4,&(3)\\\end{array}}$

Or, en prenant le quart de la différence entre les équations (2, 3), on tombe sur l’équation (1), d’où il résulte que ces équations sont insuffisantes pour déterminer $A,B,C.$

J. D. G.