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DES QUADRATURES.

$\alpha =\beta =\gamma =\delta =1,\qquad \alpha '=\beta '=\gamma '=\delta '=0\,:$

c’est le cours d’une droite parallèle aux $x$, et qui en est à la distance $1$ ; alors on doit avoir $Z=3,$ Une autre vérification consiste à faire

$\alpha =0,\ \beta =1,\ \gamma =2,\ \delta =3\,;\quad \alpha '=\beta '=\gamma '=\delta '=1\,:$

c’est le cas d’une droite passant par l’origine, et inclinée aux $x$ sous un angle demi-droit ; alors, on doit avoir $Z={\frac {3^{2}}{2}}.$

Il faut remarquer que la forme sous laquelle s’est présentée l’équation (51) n’est point accidentelle ; et on verra comment, en général, se combinent deux à deux les coefficient différentiels de même ordre, dans l’expression finale de l’aire, par l’indication sommaire du procédé que je conseillerais de suivre à celui qui se proposerait de construire des tables, d’après l’idée exposée dans cet article. Ce procédé est entièrement semblable à celui que nous avons appliqué à la série (21), et consiste à éliminer de cette série les coefficiens différentiels ${\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}},\ldots$ non seulement par le moyen des équations (32), mais par le moyen de ces équations réunies avec celles, toutes semblables, qui existent entre les coefficiens différentiels successifs des ordonnées $\nu ,\operatorname {E} \nu ,\ldots .$ Ainsi, pour formules des différens systèmes d’équations à employer, on a, en mettant, pour abréger, les simples lettres $\alpha ,\beta ,\ldots$ au lieu des différentielles divisées,

${\begin{aligned}\operatorname {E} ^{n}\nu +\operatorname {E} ^{-n}\nu &=2\nu +2n^{2}\alpha +2n^{4}\beta +\ldots \\\\{\frac {\operatorname {dE} ^{n}\nu }{\operatorname {d} a}}-{\frac {\operatorname {dE} ^{-n}\nu }{\operatorname {d} a}}&=\ldots 2.2n^{2}\alpha +4.2n^{3}\beta +\ldots \\\\{\frac {\operatorname {d^{2}E} ^{n}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {\operatorname {d^{2}E} ^{-n}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}&=\ldots 2.2\alpha +3.4.2n^{2}\beta +\ldots \end{aligned}}$