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PROBLÈME

$C,D,\ldots$ ; de sorte que (38) monterait à l’ordre $3n+2,$ et ainsi de suite. On aperçoit qu’en général on pourra toujours déterminer une courbe parabolique qui, aux $n$ points d’intersection, ait à la fois un nombre donné $m$ de contacts d’ordres successifs, et que cette courbe sera de l’ordre $mn+m-1.$

Supposons, pour donner un exemple, qu’ayant divisé l’intervalle des limites en $n=3$ parties égales, on veuille faire passer une courbe parabolique par les sommets des quatre ordonnées $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ et que de plus, à ces points, les deux courbes aient des tangentes communes. Je prends les trois premières (48, 49), bornées au coefficient $G,$ inclusivement ; je détermine, par leur moyen, les six coefficiens $B,C,D,E,F,G\,;$ je substitue dans (50) et je trouve enfin

$Z={\frac {465(\alpha +\delta )+1215(\beta +\gamma )+57(\alpha '-\delta ')-81(\beta '-\gamma ')}{1120}}.\qquad$(51)

Faisons l’application de cette formule au logarithme de $2$ ; puisque l’intervalle est divisé en trois unités ; il faut faire $a=3,n=6,$ pour avoir $Z=\operatorname {Log} .2.$ Cela posé, on aura

${\begin{alignedat}{4}\alpha &={\frac {1}{3}},&\quad \beta &={\frac {1}{4}},&\quad \gamma &={\frac {1}{5}},&\quad \delta &={\frac {1}{6}}\,;\\\\\alpha '&=-{\frac {1}{9}},&\beta '&=-{\frac {1}{16}},&\gamma '&=-{\frac {1}{25}},&\delta '&=-{\frac {1}{36}}\,;\end{alignedat}}$

d’où

$\alpha +\delta =-{\frac {1}{2}},\quad \beta +\gamma =-{\frac {9}{20}},\quad \alpha '-\delta '=-{\frac {1}{12}},\quad \beta '-\gamma '=-{\frac {9}{400}}\,;$

valeurs qui, substituées dans (51), donnent

$\operatorname {Log} .2=0{,}693145\ldots \,;$

expression exacte, jusqu’à la cinquième décimale, Inclusivement.

La formule (51) se vérifie d’ailleurs facilement, en faisant