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DES QUADRATURES.

$\left.{\begin{alignedat}{1}\beta &=\alpha +\alpha '+B+C+\ldots \\\gamma &=\alpha +2\alpha '+2^{2}B+2^{3}C+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\nu &=\alpha +n\alpha '+n^{2}B+n^{3}C+\ldots \end{alignedat}}\right\}(48)\left.{\begin{alignedat}{1}\beta '&=\alpha '+2B+3C+\ldots \\\gamma '&=\alpha '+2.2B+3.2^{2}C+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\nu '&=\alpha '+2nB+3n^{2}C+\ldots \end{alignedat}}\right\}(49)$

Les premières (48), qui sont la même chose que (39), exprimant la communauté de $n$ points : les dernières (49) exprimant la communauté de $n$ tangentes. Il faudra, pour avoir l’aire $Z,$ les combiner avec l’équation

$Z=n\alpha +{\frac {1}{2}}n^{2}\alpha '+{\frac {1}{3}}n^{3}B+{\frac {1}{4}}n^{4}C+\ldots \qquad$(50)

Les équations (48, 49), séparément en nombre $n,$ ensemble en nombre $2n,$ détermineront un nombre $2n$ de coefficiens $B,C,\ldots$ c’est-à-dire ; les $2n$ coefficiens qui suivent $A$ ; de manière que le dernier terme de (38) sera de l’ordre $u^{2n+1}.$ Ainsi, on peut toujours faire passer, par $n$ points de la proposée, une courbe parabolique de l’ordre $2n+1$ qui ait, à ces points, avec la première, des tangentes communes. Si on voulait que la courbe parabolique eût à la fois des contacts du premier et du second ordre, c’est-à-dire, des tangentes et des rayons de courbure communs aux équations, (48, 49), il faudrait joindre les suivantes, aussi en nombre $n,$

${\begin{aligned}&\beta ''=\alpha ''+2.3C+3.4D+\ldots \\&\gamma ''=\alpha ''+2.3.2C+3.4.2^{2}D+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\nu ''=\alpha ''+2.3.nC+3.4.n^{2}D+\ldots \\\end{aligned}}$

Par le moyen de $3n$ équations, on déterminerait $3n$ coefficiens