Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/114

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

106

PROBLÈME

méthode d’approximation, se puisse continuer à l’infini, sans pouvoir s’arrêter à aucun terme, et y changer soit de forme soit de nature ; et que, plus on en prend de termes … la somme de la suite diffère moins … ; et il faut non seulement que cela soit, mais encore que cela soit bien prouvé à priori. » (Problème des trois corps, pag. 62).

Lagrange s’exprime d’une manière peut-être plus positive encore à cet égard. Après avoir parlé du moyen d’évaluer les termes omis à la fin de la série de Taylor, il ajoute : « Par le moyen de ces limites, on est à couvert des difficultés qui peuvent naître de la non convergence de la série [ valeur de $(x+i)^{m}$ ] … si ${\frac {i}{x}}<1\ldots$ la série finira toujours par être convergente ; mais elle sera toujours divergente à son extrémité, si ${\frac {i}{x}}>1\ldots$ , quoiqu’elle puisse être convergente dans ses premiers termes. Ainsi, elle ne pourra alors être employée avec sûreté, quelque loin qu’elle soit portée, qu’en ayant égard aux limites que nous venons de donner. » (Journal de l’école polytechnique, XII.^e cahier, pag. 75)^[1].

↑ Tout en partageant au fond l’opinion de mon judicieux ami, je crois cependant devoir y apporter un léger tempéramment.
Je remarque d’abord, avec lui, que, comme on peut toujours, par l’addition, réduire à un terme unique tant des premiers termes qu’on voudra d’une série semi-convergente, il en résulte que les séries de cette classe peuvent toujours être rangées dans la classe des séries purement divergentes.

Je remarque, en second lieu, que de telles séries peuvent toujours être offertes sous une infinité de formes différentes. On peut, en effet, réunir leurs termes de deux en deux, ou de trois en trois, de quatre en quatre, et ainsi de suite. On peut aussi laisser le premier terme seul, réunir les deux suivans, puis les trois qui viennent après ceux-ci, les quatre qui viennent ensuite, et ainsi du reste. On peut enfin faire des termes de cette série telle autre combinaison régulière qu’on voudra.

[p114-1] Tout en partageant au fond l’opinion de mon judicieux ami, je crois cependant devoir y apporter un léger tempéramment.
Je remarque d’abord, avec lui, que, comme on peut toujours, par l’addition, réduire à un terme unique tant des premiers termes qu’on voudra d’une série semi-convergente, il en résulte que les séries de cette classe peuvent toujours être rangées dans la classe des séries purement divergentes.

Je remarque, en second lieu, que de telles séries peuvent toujours être offertes sous une infinité de formes différentes. On peut, en effet, réunir leurs termes de deux en deux, ou de trois en trois, de quatre en quatre, et ainsi de suite. On peut aussi laisser le premier terme seul, réunir les deux suivans, puis les trois qui viennent après ceux-ci, les quatre qui viennent ensuite, et ainsi du reste. On peut enfin faire des termes de cette série telle autre combinaison régulière qu’on voudra.

[1]