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PROBLÈME

la troisième pourrait absolument servir ; mais encore, pour obtenir un résultat de même précision, le procédé parabolique des méthodes (IV, V), aidé des formules calculées dans les Annales, etc., me paraît-il plus facile ; mais voyons ce que donne la série (10). À cause de

$T={\frac {1}{2.6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{2.12}}=0{,}694877346,$

j’aurai

$\operatorname {Log} .2=0{,}694877346-B_{1}{\frac {2^{2}-1}{12^{2}}}+B_{2}{\frac {2^{4}-1}{12^{4}}}-B_{3}{\frac {2^{6}-1}{12^{6}}}+\ldots$

Pour m’assurer de la convergence de cette série, qui renferme les nombres de Bernouilli, j’égale en valeur absolue les deux termes des rangs $n,n+1,$ d’où je tire

${\frac {B_{n+1}}{B_{n}}}={\frac {\left(2^{2n}-1\right)12^{2}}{2^{2(n+1)}-1}}.$

Or, Euler, dans son Calcul différentiel, a démontré que le rapport de deux nombres de Bernouilli consécutifs converge assez rapidement vers l’expression ${\frac {n^{2}}{\varpi ^{2}}}\,;$ on pourra donc écrire

${\frac {n^{2}}{\varpi ^{2}}}={\frac {144\left(2^{2n}-1\right)}{2^{2(n+1)}-1}}\,;$

d’où l’on tire $n$ à peu près égale à $6\varpi ,$ ou à $18$ environ ; c’est-à-dire que la série devient divergente après les $18$ premiers termes ; elle est donc absolument divergente ; car, aux $18$ premiers termes, réunissez quelques-uns des autres, pour former un seul premier terme, et vous aurez une série toute divergente, qui par elle-même n’apprendra rien sur la valeur de $\operatorname {Log} .2,$ au moins dans l’état actuel de l’analise.