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PROBLÈME

${\begin{alignedat}{2}q''&=25p''-36p'''={\frac {2.45}{5.7.9}},&\quad q'''&=25p'''-36p^{\rm {iv}}={\frac {2.23}{7.9.11}},\\&&q^{\rm {iv}}&=25p^{\rm {iv}}-36p^{\rm {v}}={\frac {2.1}{9.11.13}}\\r''&=16q''-36q''\ \ ={\frac {2.3780}{5.7.9.11}},&r'''&=16q'''-36q^{\rm {iv}}={\frac {2.4532}{7.9.11.13}},\\s''&=9r''-36r''\quad =-{\frac {2.373500}{5.7.9.11.13}},&\end{alignedat}}$

La valeur de $u,$ introduite dans la dernière des équations (37) donne sur-le-champ

$\eta =-{\frac {1354584384}{81093000}}$

Ici nous, avons pris pour unité $\omega$ ou la $12.^{me}$ partie de l’intervalle entre les ordonnées extrêmes. Si, avec M. Bérard, nous prenons pour unité cet intervalle entier, il faudra diviser nos coefficiens par $12.$ Or, après avoir divisé par $12$ la valeur précédente de $\eta ,$ et divisé haut et bas par $21,$ pour réduire la fraction à une expression plus simple, je trouve

$\eta =-{\frac {87797136}{63063000}},$

qui est précisément l’expression du même coefficient, dans la formule de M. Bérard. Les autres coefficiens $\zeta ,\varepsilon ,\ldots$ obtenus par le calcul des équations (37), puis divisés par $12,$ coïncident aussi avec ceux de la formule citée, qui se trouve par là pleinement justifiée.

Il n’est peut-être pas nécessaire de faire observer que la méthode dont il s’agit dans cet article s’applique évidemment, et de la même manière, à la série (22) laquelle comprend également les cas de l’intervalle divisé en un nombre impair et un nombre pair de parties ; d’où, il suit qu’il n’est pas exact de dire que la méthode de M. Bérard n’est immédiatement applicable qu’à un diviseur pair (Annales, tom. VII, pag. 245).