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PROBLÈME

Or, il est clair que, dans les premiers membres des équations du tableau (35), $(n-1)^{2}$ joue le même rôle que $n^{2}$ dans les équations (33) ; ainsi, on formera un second tableau de $n-1$ équations débarrassées de $\beta ,$ en multipliant les premiers membres des $n-1$ premières (35), terme à terme et par ordre, par la suite

$(n-1)^{2}-(n-1)^{2}=0,(n-1)^{2}-(n-2)^{2}=c',(n-1)^{2}-(n-3)^{2}=d',\ldots (n-1)^{2}-1,(n-1)^{2}\,;$

puis en donnant à chacune pour second membre le sien primitif, multiplié par $(n-1)^{2},$ et ensuite diminué de celui de la suivante. De cette manière on a

$\left.{\begin{array}{rl}cc'\gamma \ \ \quad \qquad +dd'\delta \ \quad +\ldots +{\frac {n^{2}(n-1)^{2}\nu }{2}}&=n^{3}q,\\cc'\gamma (n-2)^{2}+dd'\delta (n-3)^{2}+\ldots \ldots \ldots &=n^{5}q',\\cc'\gamma (n-2)^{4}+dd'\delta (n-3)^{4}+\ldots \ldots \ldots &=n^{7}q'',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\\\end{array}}\right\}(36)$

où l’on a

$q=(n-1)^{2}p-n^{2}p',\ q'=(n-1)^{2}p'-n^{2}p'',\ q''=(n-1)^{2}p''-n^{2}p''',\ldots$

Ici $(n-2)^{2}$ a pris la place de $(n-1)^{2}$ dans (35), et de $n^{2}$ dans (33) ; et l’on aperçoit, sans qu’il soit nécessaire d’insister, comment on passera à une suite de tableaux de $n-2,n-3,\ldots$ équations comprenant chacune une inconnue de moins ; et comment enfin on arrivera à une seule équation de la forme

${\frac {n^{2}(n-1)^{2}(n-2)^{2}\ldots 2^{2}.1}{2}}\nu =n^{3}\scriptstyle {\mathcal {W}},$

qui donnera sur-le-champ

$\nu ={\frac {2n^{3}\scriptstyle {\mathcal {W}}}{n^{2}(n-1)^{2}(n-2)^{2}\ldots 2^{2}.1}}.$