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RECHERCHE DES ORBITES

$(m'h-n'g)z''=\left\{(m'n''-m''n')z+(m'h''-n'g'')\right\}z\,;\qquad$(13)

mettant pour $z''$ dans celle-ci sa valeur donnée par l’équation (3) et divisant par $z,$ on en tirera

$r^{3}=-{\frac {\mu (m'h-n'g)}{(m'n''-n'm'')z+(m'h''-n'g'')}}\,;\qquad$(14)

égalant enfin le cube de la valeur (10) de $r^{2}$ au quarré de la valeur (14) de $r^{3},$ on aura l’équation finale en $z$

$\left\{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)z^{2}+2(mg+nh)z+\left(g^{2}+h^{2}\right)\right\}^{3}$

$={\frac {\mu ^{2}(m'h-n'g)^{2}}{\left\{(m'n''-m''n')z+(m'h''-n'g'')\right\}^{2}}},$ (15)

laquelle monte, en général, au 8.^e degré.

L’élimination de $z''$ entre les équations (11 et 12) donne ensuite

$2(m'h-n'g)z'+(m''h-n''g)z=gh''-g''h),$

d’où

$z'=-{\frac {(m''h-n''g)z-(gh''-g''h)}{2(m'h-n'g)}}\,;\qquad$(16)

ainsi, $z$ étant déterminé par l’équation (15), on en conclura $z'$ par cette dernière formule ; les équations (4 et 5) donneront ensuite $x,x',y,y'\,;$ le problème se trouvera donc complètement résolu.

Si l’on veut faire abstraction de la parallaxe de l’astre et de la petite latitude du centre de la terre, on aura

${\begin{array}{crl}(7)&1+m^{2}+n^{2}&={\frac {1}{\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }},\\(7{\text{ et }}8)&mg+nh&=\varrho \operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )\operatorname {Cot} .\gamma ,\\(8)&g^{2}+h^{2}&=\varrho ^{2},\\(9)&m'h''-n'g''&=-{\frac {\mu }{\varrho ^{3}}}(m'h-n'g)\\(9)&gh''-g''h&=0\,;\\\end{array}}$

en conséquence, l’équation (15) deviendra