Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/90

86

RECHERCHE DES ORBITES

$g=\varrho \operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad h=\varrho \operatorname {Sin} .\alpha \,;\qquad$(8)

d’où

$g^{2}+h^{2}=\varrho ^{2}\,;$

et en outre, par le principe de la gravitation

$g''+{\frac {\mu g}{r^{3}}}=0,\qquad h''+{\frac {\mu h}{r^{3}}}=0\,;\qquad$(9)

équations qui pourront servir, dans la présente hypothèse, à simplifier les formules finales auxquelles conduira la solution du problème. On remarquera, au surplus, que, tout étant connu dans le mouvement de la terre, on peut profiter des circonstances particulières de ce mouvement pour déterminer directement et sans recourir à aucune sorte d’interpolation, les valeurs des fonctions $g',g'',h',h''$ qui doivent correspondre à l’époque $t=0,$ ou à toute autre époque qu’on aura choisi. Mais, de quelque manière d’ailleurs que l’on juge devoir procéder à la détermination de ces quantités, cela ne changera absolument rien à la marche du problème qui nous occupe.

M. Laplace (Mécanique céleste, liv. II) prend pour données $\alpha ,\beta ,\gamma ,\varrho$ et leurs fonctions dérivées des deux premiers ordres, déduites d’un nombre suffisant d’observations ; mais il paraît plus convenable de leur préférer les fonctions $g,h,m,n,$ faciles à déduire des premières, ainsi que leurs fonctions dérivées des deux premiers ordres ; attendu que les fonctions de cette dernière sorte s’offrent, pour ainsi dire, d’elles-mêmes dans les équations du problème, et qu’elles s’y présentent seules.

M. Legendre (Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes ; Paris, 1806), ayant senti quelque répugnance à employer des coefficiens différentiels déduits de l’interpolation, a préféré recourir à l’emploi de trois systèmes de valeurs de $g,h,$ $m,n,$ et des temps auxquels ils doivent correspondre. Mais, ce que nous avons dit (Annales, tom. VI, pag. 842) paraît de nature à dissiper tous les scrupules que l’on pourrait concevoir à ce sujet ;