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TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.

avec l’axe des $y$, on aura donc $\alpha =-0,\beta =1,\gamma =0$ ; mais, dans la même hypothèse l’équation (3) donne $a=b=c={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,;$ et l’on a de plus $m=-{\tfrac {1}{2}},$$1-m={\tfrac {3}{2}},\ \ n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},\ \ ab=ac={\tfrac {1}{3}},\ \ cn=bn={\tfrac {1}{2}},\ \ ab(1-m)=$$ac(1-m)={\tfrac {1}{2}}\,;$ ce qui donne $\beta ={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {1}{2}}$, et prouve ainsi que ce sont les signes supérieurs qu’il faut prendre.

On a donc ainsi

${\begin{alignedat}{1}&\operatorname {Cos} .(t,x)=&a^{2}(1-m)+m,\\&\operatorname {Cos} .(t,y)=&ab(1-m)+cn,\\&\operatorname {Cos} .(t,z)=&ac(1-m)-bn\,;\end{alignedat}}$

et l’on aura semblablement

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {Cos} .(u,y)=&b^{2}(1-m)+m,&\qquad \operatorname {Cos} .(v,z)=&c^{2}(1-m)+m,\\\operatorname {Cos} .(u,z)=&bc(1-m)+an,&\operatorname {Cos} .(v,x)=&ca(1-m)+bn,\\\operatorname {Cos} .(u,x)=&ab(1-m)-cn\,;&\operatorname {Cos} .(v,y)=&bc(1-m)-an\,;\end{alignedat}}$

d’où on conclura, par les formules connues,

${\begin{alignedat}{2}x=&\left\{a^{2}(1-m)+m\right\}t+&\left\{ab(1-m)-cn\right\}u+&\left\{ca(1-m)+bn\right\}v,\\y=&\left\{b^{2}(1-m)+m\right\}u+&\left\{bc(1-m)-an\right\}v+&\left\{ab(1-m)+cn\right\}t,\\z=&\left\{c^{2}(1-m)+m\right\}v+&\left\{ca(1-m)-bn\right\}t+&\left\{bc(1-m)+an\right\}u.\\\end{alignedat}}$

Ce sont là les formules demandées, dans lesquelles les cinq constantes $a,b,c,m,n,$ sont liées entre elles par les deux relations

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,\qquad m^{2}+n^{2}=1.$

Les trois premières fixent la situation de l’axe de rotation ; les deux autres déterminent la quantité de cette rotation.