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RÉSOLUES.

Si l’on conçoit une zone infiniment mince dont les deux bases soient perpendiculaires à $\mathrm {CP}$ ; en appelant $x$ la distance de l’une de ces bases au point $\mathrm {P} ,$ sa surface sera $2\varpi r\operatorname {d} x.$ Tous les points de cette zône étant à une même distance ${\sqrt {r^{2}-z^{2}+2zx}}$ du point $\mathrm {P} ,$ lui enverront conséquemment une même quantité de lumière de sorte que la lumière totale reçue par le point $\mathrm {P} ,$ de tous les points de cette zône, sera proportionnelle à son étendue divisée par le quarré de la distance commune de tous ses points à ce point $\mathrm {P} .$ Cette lumière sera donc

${\frac {2\varpi mr\operatorname {d} x}{r^{2}-z^{2}+2zx}},$

$m$ étant une constante relative à l’intensité de la lumière qui s’échappe de chacun des points de la surface de la sphère.

On aura donc la lumière totale reçue par le point $\mathrm {P}$ en intégrant cette formule, entre $x=z-r$ et $x={\frac {z^{2}-r^{2}}{z}}\,;\ z$ étant comme constant. On obtient ainsi

${\frac {\varpi mr}{z}}\operatorname {Log} .{\frac {z+r}{z-r}},\qquad$ou$\qquad \varpi mr\operatorname {Log} .{\sqrt[{z}]{\frac {z+r}{z-r}}}.$

Si présentement, dans cette formule, on regarde $z$ comme variable, on voit qu’elle devient nulle en faisant $z$ infini, et qu’elle croît sans cesse, à mesure que $z$ décroit, et devient enfin infinie, lorsqu’on a $z=r.$

Ainsi, le point $\mathrm {P}$ recevra la plus grande lumière possible, lorsqu’il sera sur la sphère même. Ce résultat, contraire à ce que l’énoncé de la question paraissait insinuer, pourrait d’abord sembler paradoxal, en ce que, lorsque le point $\mathrm {P}$ est sur la sphère même, il n’est plus éclairé que par une calotte infiniment petite. Mais on peut remarquer que l’aire de la calotte qui éclaire le point $\mathrm {P}$ est en général