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GÉOMÉTRIE

Supposons, en second lieu, qu’il soit question de mener à la parabole une tangente par un point extérieur $\mathrm {(a,b)}$ ; en représentant par $x',y'$ les coordonnées du point de contact ; on aura pour déterminer ce point les deux équations

$y'^{2}=2px'\qquad$et$\qquad by'=p(x'+a)\,;\qquad$(2)

dont la première exprime que le point de contact est sur la courbe, tandis que la seconde exprime que le point $\mathrm {(a,b)}$ satisfait à l’équation (1). Puis donc que l’équation $y'^{2}=2px'$ est du second degré et l’autre du premier seulement, on aura deux points de contact et conséquemment deux tangentes par le point $\mathrm {(a,b).}$

Dans la recherche de ces deux points de contact, au lieu de tirer des équations (2) les deux systèmes de valeurs qu’elles fournissent pour $x$ et $y,$ il revient au même et il est plus commode de construire les lignes qu’expriment ces deux équations. Puis donc que la première est celle de notre parabole elle-même, et que l’autre n’est que du premier degré seulement, cette dernière doit appartenir à une droite passant par les points où les deux tangentes touchent la courbe, c’est-à-dire, que cette droite est la polaire du point $(a,b).$

On voit donc, d’après cela, que nos trois droites $\mathrm {(C),(C'),(C'')}$, à la construction desquelles nous avons ramené notre problème, ne sont autre chose que les polaires respectives des trois points $\mathrm {P,P',P''.}$

Or, comme la droite polaire d’un point donné, sur le plan d’une section conique, peut se construire à l’aide de la règle seulement, il s’ensuit que nous pouvons étendre notre construction à une section conique quelconque ; et voici à quoi elle se réduit.

Construction I. Soient trois points $\mathrm {P,P',P'',}$ donnés à volonté, sur le plan, d’une ligne du second ordre quelconque ; et supposons qu’il soit question d’inscrire à la courbe un triangle dont