Le point de contact pourra également être considéré comme une ligne du second ordre suivant laquelle la surface est touchée par une troisième surface conique circonscrite, laquelle ne sera autre que le plan tangent en ce point, qui sera en même temps le sommet de cette troisième surface conique.
Les plans des lignes de contact passent tous trois par une même droite, laquelle est la tangente commune aux deux courbes ; donc, par la propriété connue des pôles, les trois sommets doivent être en ligne droite ; c’est-à-dire, en d’autres termes, que la droite qui joint les sommets de nos deux surfaces coniques est tangente à la surface du second ordre, et contient le point de contact des deux courbes[1] ; cette droite est donc une arête commune aux deux surfaces coniques.
Ainsi, lorsque deux lignes du second ordre, tracées sur une surface du même ordre, sont tangentes l’une à l’autre, les surfaces coniques circonscrites, dont ces lignes sont les lignes de contact avec la surface du second ordre, ont une arête commune, laquelle passe par le point de contact de deux courbes ; et il est aisé de voir que, réciproquement, si deux surfaces coniques circonscrites à une même surface du second ordre ont une arête commune, leurs lignes de contact avec cette surface seront tangentes l’une à l’autre au point où cette même surface sera touchée par l’arête commune.
Cela posé ; soient trois lignes du second ordre, données et quelconques sur une surface du même ordre. Considérons ces trois lignes comme les lignes de contact de la surface avec trois surfaces coniques circonscrites ; ces surfaces coniques se couperont en quelque point. Considérons ce point comme le sommet d’une quatrième surface conique circonscrite ; il est clair que cette surface conique se trouvera avoir une arête commune avec chacune des trois autres ; donc,
- ↑ Il est aisé de reconnaître cette droite pour la conjuguée de la tangente
commune aux deux courbes.
J. D. G.
