Voici donc à quoi se réduit la construction du problème. Soient menées les tangentes communes extérieures à nos trois cercles pris deux à deux, et les cordes de contact de ces tangentes avec chaque cercle. Les deux cordes de contact sur se couperont en et leurs parallèles sur et en Les deux cordes de contact sur couperont en et leurs parallèles sur et en Les deux cordes de contact sur se couperont en et leurs parallèles sur et en
Soient menées coupera en et coupera en et et coupera en et Faisant ensuite passer deux cercles, l’un par l’autre par ces deux cercles rempliront les conditions du problème.
On peut remarquer, au surplus, que les centres de ces deux cercles seront faciles à déterminer ; car ils se trouveront à l’intersection des droites menées des centres des cercles donnés soit aux trois points soit aux trois points
On se convaincra facilement, d’après tout ce qui a été dit ci-dessus, que pour obtenir les six autres solutions dont le problème est susceptible, il ne s’agit que de substituer, tour-à-tour, à deux des couples de tangentes extérieures les couples de tangentes qui se croisent entre les deux cercles qu’elles touchent à la fois.
En vain objecterait-on que, lorsque deux des cercles donnés sont l’un dans l’autre, en tout ou en partie, ces constructions sont en défaut, puisqu’alors ils n’ont plus de tangentes intérieures communes et peuvent même n’en point avoir d’extérieures : on peut observer en effet qu’alors même les droites (11, 12, 13, 14) ne cessent point pour cela d’être réelles, et peuvent toujours être construites. On peut même définir les droites (11, 13), indépendamment de toute considération de tangentes, en disant que ce sont des cordes ayant pour pôle commun le centre de similitude de et
On peut modifier un peu les constructions auxquelles nous venons de parvenir de la manière suivante :
