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DES ÉQUATIONS.

$-2y^{2}-z^{2}-z'^{2}=4p,$

$yz^{2}-yz'^{2}=-4q,$

$\left(y^{2}-z^{2}\right)\left(y^{2}-z'^{2}\right)=16r.$

ce qui donne

$z^{2}=-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}},$

$z'^{2}=-y^{2}-2p+{\frac {2q}{y}},$

$\left(y^{2}+p+{\frac {q}{y}}\right)\left(y^{2}+p-{\frac {q}{y}}\right)=4r\,;$

d’où la réduite

$y^{6}+2py^{4}+\left(p^{2}-4r\right)y^{2}-q^{2}=0\,;$

et les valeurs

$l^{2}=-{\tfrac {2}{3}}p+{\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {B}}}}+{\sqrt[{3}]{A-{\sqrt {B}}}},$

$m^{2}=-{\tfrac {2}{3}}p+{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {B}}}}+{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{A-{\sqrt {B}}}},$

$n^{2}=-{\tfrac {2}{3}}p+{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {B}}}}+{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\sqrt[{3}]{A-{\sqrt {B}}}}\,;$

pour les trois racines de cette réduite, considérée comme équation du troisième degré ; valeurs dans lesquelles $A$ et $B$ désignent des fonctions connues des coefficiens de cette même réduite.

Cela posé, on a

$a+b=y,\qquad a-b={\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}},$

$c+d=-y,\qquad c-d={\sqrt {-y^{2}-2p+{\frac {2q}{y}}}}\,;$

donc