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RÉSOLUTION

$a+b+c=0,$

$ab+ac+bc=p,$

$abc=-q\,;$

partant

${\frac {-3(b+c)^{2}-(b-c)^{2}}{2^{2}}}=p,$

${\frac {(b+c)^{3}-(b+c)(b-c)^{2}}{2^{2}}}=q\,;$

ou, en faisant $b+c=y,\ b-c=z,$

${\begin{aligned}-3y^{2}-z^{2}=&4p,\\y^{3}-yz^{2}=&4q.\\\end{aligned}}$

Éliminant $y^{6}$ entre le cube de la première équation et le quarré de la seconde, on obtient

$-z^{2}\left(3^{2}.y^{2}-z^{2}\right)=4^{2}\left(27q^{2}+4p^{3}\right)\,;$

d’où, l’on tire

${\frac {3^{2}y^{2}z{\sqrt {-3}}-3z^{3}{\sqrt {-3}}}{2^{3}.3^{3}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{2}}}\,;$

ajoutant et retranchant enfin cette équation successivement à l’équation

${\frac {3^{3}y^{3}-3^{3}yz^{2}}{2^{3}.3^{3}}}={\tfrac {1}{2}}q,$

le premier membre de l’équation résultante sera un cube parfait ; et en conséquence, elle prendra cette forme