Cela posé, considérons les ellipses et comme les bases de deux cylindres de projections ; ces deux cylindres ayant les mêmes plans tangens, en et auront une commune section plane, passant par et dont et seront les projections (Mém. sur les contacts des sphères et des surfaces du second degré. Dupin).
Cette intersection des deux cylindres oscule nécessairement en d’où il suit que le plan conduit par et est osculateur de en
Et, comme le rayon de courbure en de l’intersection plane des deux cylindres est aussi celui de la courbe au même point ; il s’ensuit que ce dernier est troisième proportionnel à la distance de à et à la moitié de la longueur de cette droite.
Voilà donc la courbe exprimée en fonction du rayon de courbure et des coordonnées du centre.
L’équation du diamètre parallèle à la tangente, ou à l’axe des est en la combinant avec l’équation (4), il vient
équation qui fera connaître les deux extrémités du diamètre, et qui donne
Si l’on appelle la longueur entière du diamètre dont il s’agit, sera la demi-différence de ces deux valeurs ; c’est-à-dire qu’on aura
conformément à l’énoncé du théorème.
