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FORMULES

de deux, qu’il trouve, d’après sa formule $=0{,}6931471806261;$ et, d’après la mienne, $=0{,}6931471807262\,;$ ce qui présente une différence d’une unité dans la dixième décimale. Il en résulte que la mienne laisse une erreur un peu plus grande que celle qui résulte de la formule de M. Bérard, en supposant toutefois que les calculs, de part et d’autre, sont rigoureusement exacts. Mais que peut-on raisonnablement conclure d’une application unique^[1] ?

7. Troisièmement. À plus forte raison sera-t-il permis de douter de l’exactitude de la formule ( $F_{24}.$ ) Elle a coûté à son auteur cent heures de travail. Je serais bien fâché que le calcul de mes douze formules m’eût seulement coûté la moitié de ce temps^[2].

8. Quatrièmement. En employant successivement toutes mes douze formules, au calcul du huitième de la circonférence entière, qui, comme l’on sait, est l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} t}{1+t^{2}}},$ prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=1\,;$ et, en mettant en regard de chaque résultat l’erreur dont il se trouve affecté, j’ai eu le tableau suivant :

↑ Tout ceci nous semble mériter quelque explication.
D’abord il ne paraît point exact de dire que le problème dont se sont occupés MM. Kramp et Bérard ne puisse admettre qu’une solution unique. Nous en avons déjà fait l’observation dans la note de la page 102, et c’est une vérité reconnue par M. Kramp lui-même qui, au commencement du présent mémoire, le qualifie d’indéterminé. Il n’y aurait donc que la solution rigoureuse de ce problème qui pourrait être unique ; mais cette solution rigoureuse est impossible, tant qu’on ne fixe pas la nature de la fonction $y.$

On ne peut donc rien conclure, pour ou contre les formules de MM. Kramp et Bérard, des différences qu’elles présentent, dans les applications. Celle des deux qui a l’avantage dans un cas peut le perdre dans un autre ; et M. Kramp a grandement raison de dire en ce sens qu’une seule application ne suffit point pour prononcer entre elles. Nous en avions déjà fait la remarque (pag. 112).

J. D. G.
↑ Nous ne courrions probablement pas un très-grand risque en nous engageant à calculer en moins de cent heures, par la méthode de M. Kramp, la formule qui répond au diviseur 24.
J. D. G.

[1] Tout ceci nous semble mériter quelque explication.
D’abord il ne paraît point exact de dire que le problème dont se sont occupés MM. Kramp et Bérard ne puisse admettre qu’une solution unique. Nous en avons déjà fait l’observation dans la note de la page 102, et c’est une vérité reconnue par M. Kramp lui-même qui, au commencement du présent mémoire, le qualifie d’indéterminé. Il n’y aurait donc que la solution rigoureuse de ce problème qui pourrait être unique ; mais cette solution rigoureuse est impossible, tant qu’on ne fixe pas la nature de la fonction $y.$

On ne peut donc rien conclure, pour ou contre les formules de MM. Kramp et Bérard, des différences qu’elles présentent, dans les applications. Celle des deux qui a l’avantage dans un cas peut le perdre dans un autre ; et M. Kramp a grandement raison de dire en ce sens qu’une seule application ne suffit point pour prononcer entre elles. Nous en avions déjà fait la remarque (pag. 112).

J. D. G.

[2] Nous ne courrions probablement pas un très-grand risque en nous engageant à calculer en moins de cent heures, par la méthode de M. Kramp, la formule qui répond au diviseur 24.
J. D. G.

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