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FORMULES

4. J’avais lieu d’espérer que quelques géomètres jugeraient cette recherche d’un assez haut intérêt pour en faire le sujet de leurs méditations. M. Bérard, principal du collége de Briançon, dans un mémoire ayant pour titre ; Méthode nouvelle pour quarrer les courbes, et intégrer, entre des limites données, toute fonction différentielle d’une seule variable (Annales, tom. VII, pag. 101 et suiv.), prétend être parvenu au but. Il trouve, pour le diviseur général six, les quatre équations

${\begin{aligned}6=&\ \,\quad 2A+\quad \,2B+2C+D,\\9=&\ \,\quad 9A+\quad \,4B+\ \ C,\\243=&\,\ 405A+\,\ \,80B+5C,\\2187=&5103A+448B+7C\,;\\\end{aligned}}$

d’où il tire, par l’élimination,

$A={\tfrac {41}{140}},\quad B={\tfrac {216}{140}},\quad C={\tfrac {27}{140}},\quad D={\tfrac {252}{140}}\,;$

et, après avoir multiplié par $6,$ il a finalement

${\begin{aligned}804\int y\operatorname {d} x=&\ \,41(y_{0}+y_{6})\\&+216(y_{1}+y_{5})\\&+\ \,27(y_{2}+y_{4})\\&+272y_{3}.\end{aligned}}$

Il aurait sept de ces équations, dans le cas du diviseur général douze, et treize dans le cas du diviseur général vingt-quatre. Il faut observer que, dans ce dernier cas, l’une des treize équations renfermera toutes les inconnues, et que chacune des douze autres en renfermera une de moins, c’est-à-dire douze. Il faut remarquer de plus que l’opération connue des soustractions réitérées ne suffira pas pour diminuer chaque fois d’une unité le nombre des inconnues, ce qui rendra la résolution complète des treize équations beaucoup