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LIEUX

tom. VI, pag. 165) les conjugués des diamètres de nos trois surfaces parallèles à l’axe des $x$, c’est-à-dire à une droite quelconque ; on a donc le théorème suivant.

THÉORÈME, Lorsque plusieurs surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe, les plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles de ces surfaces se coupent tous suivant-une même droite.

Si la troisième équation (1) représentait une sphère, il faudrait qu’on eût, à la fois,

${\begin{alignedat}{1}am+a'm'=bm+b'm'&=cm+c'm'\\dm+d'm'=em+e'm'&=fm+f'm'\,;\end{alignedat}}$

entre lesquelles éliminant ${\frac {m}{m'}},$ il viendrait

${\frac {a-b}{a'-b'}}={\frac {a-c}{a'-c'}}={\frac {d}{d'}}={\frac {e}{e'}}={\frac {f}{f'}},$

conditions, au nombre de quatre, qui expriment que la commune section des deux premières surfaces (1) est sur une sphère.

PROBLÈME VI. Trouver les conditions nécessaires pour que quatre surfaces du second ordre aient les mêmes points d’intersection.

Solution. En supposant, pour les équations des surfaces dont il s’agit,

$\left.{\begin{alignedat}{1}a\ \ x^{2}+b\,\ \ y^{2}+c\ \ \ z^{2}+2d\,\ \ xy+2e\,\ \ xz+2f\,\ \ yz+2g\,\ \ x+2h\,\ \ y+2k\ \ z+l\quad &=0,\\a'\ x^{2}+b'\,\ y^{2}+c'\ \ z^{2}+2d'\ xy+2e'\ xz+2f'\,\ yz+2g'\,\ x+2h'\,\ y+2k'\ z+l'\ \ \,&=0,\\a''\,x^{2}+b''\,y^{2}+c''\,z^{2}+2d''\,xy+2e''\,xz+2f''\,yz+2g''\,x+2h''\,y+2k''\,z+l''\ \,&=0,\\a'''x^{2}+b'''y^{2}+c'''z^{2}+2d'''xy+2e'''xz+2f'''yz+2g'''x+2h'''y+2k'''z+l'''&=0\,;\end{alignedat}}\right\}\mathrm {(1)}$