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GÉOMÉTRIQUES.

PROBLÈME V. Trouver les conditions nécessaires pour que trois surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe ?

Solution, En supposant, pour les équations des surfaces dont il s’agit,

$\left.{\begin{alignedat}{1}a\,\ x^{2}+b\,\ y^{2}+c\ \ z^{2}+2d\ \ xy+2e\ \ xz+2f\,\ \ yz+2g\ \ x+2h\,\ y+2k\ \ z+l\,\ &=0,\\a'\,x^{2}+b'\,y^{2}+c'\,z^{2}+2d'\,xy+2e'\,xz+2f'\,\ yz+2g'\,x+2h'\,y+2k'\,z+l'\,&=0,\\a''x^{2}+b''y^{2}+c''z^{2}+2d''xy+2e''xz+2f''yz+2g''x+2h''y+2k''z+l''&=0\,;\end{alignedat}}\right\}\mathrm {(1)}$

et exprimant que la dernière est la somme des produits des deux autres par deux multiplicateurs indéterminés $m,m',$ on obtiendra les dix équations

$\left.{\begin{alignedat}{2}am+a'm'&=a'',\quad &fm+f'm'&=f'',\\bm+b'm'&=b'',&gm+g'm'&=g'',\\cm+c'm'&=c'',&hm+h'm'&=h'',\\dm+d'm'&=d'',&km+k'm'&=k'',\\em+e'm'&=e'',&lm+l'\,m'&=l''.\end{alignedat}}\right\}\quad$(2)

entre lesquelles éliminant $m$ et $m',$ on obtiendra les condition, cherchées, lesquelles conséquemment seront au nombre de huit.

La première, la quatrième et la cinquième équations de la première colonne ; jointes à la deuxième de la seconde, prouvent (Prob. III) que les trois plans dont les équations sont

$\left.{\begin{alignedat}{1}a\,\ x+d\,\ y+e\ \ z+g\,\ &=0,\\a'\,x+d'\,y+e'\,z+g'\,&=0,\\a''x+d''y+e''z+g''&=0.\end{alignedat}}\right\}\quad$(3)

se coupent suivant une même droite ; mais ces plans sont (Annales,