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MOUVEMENT

et, pour les mêmes raisons que ci-dessus, la constante $T$ sera l’époque du périhélie.

3.^o  Enfin, dans le cas de $\varepsilon >1,$ qui est celui de l’hyperbole, en posant d’abord

${\sqrt {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +1}}}.\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\phi =\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\psi ,\qquad$(65)

on a

$T=t-{\sqrt {\frac {p^{3}}{(\varepsilon -1)^{3}\mu }}}\left\{\varepsilon \operatorname {Tang} .\psi -\operatorname {Log.Tang} .{\tfrac {1}{2}}\left(\psi +{\tfrac {1}{2}}\varpi \right)\right\}\,;$ (66)

et $T$ sera encore l’époque du périhélie.

Il est presque superflu de remarquer que, dans la formule (63), l’arc $\psi$ doit être exprimé en parties du rayon pris pour unité, et que, dans la formule (66), il s’agit de logarithmes naturels.

À raison du double signe dont tout radical est susceptible, le calcul de l’époque du périhélie laisse incertain si l’époque $t$ lui est antérieure ou postérieure, et nous avons admis ici des signes conformes à la dernière de ces deux hypothèses ; mais, comme il pourrait tout aussi bien arriver que le contraire eût lieu, il sera bon d’avoir quelque moyen de lever le doute où l’on pourrait être à cet égard.

En différentiant l’équation (47), il vient

$Dx'+Ey'+Fz'=\mu r'\,;\qquad$(67)

or, suivant que l’époque, précède celle du périhélie, coïncide avec elle ou la suit, $r'$ doit être négatif, nul ou positif ; donc aussi suivant qu’on aura

$Dx'+Ey'+Fz'\left\{{\begin{array}{lll}<0,&t{\text{ précédera }}\ldots \\=0,&t{\text{ coïncidera avec }}\\>0,&t{\text{ suivra }}\ldots \\\end{array}}\right\}$ le périhélie.