Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/184

178

SURFACES

$t^{2}+u^{2}=Mv^{2}+N$^[1]$\qquad$(5)

$M$ et $N$ étant deux constantes dont les grandeurs et les signes particularisent la surface.

Passant ensuite aux coordonnées obliques, cette équation deviendra

$\left(ax+by+cz\right)^{2}+\left(a'x+b'y+c'z\right)^{2}=M\left(a''x+b''y+c''z\right)^{2}+N\,;$

ou, en développant, ordonnant et ayant égard aux relations (3, 4),

$\left.{\begin{aligned}&\left\{1-(1+M)a''^{2}\right\}x^{2}+\left\{\operatorname {Cos} .\alpha -(1+M)b''c''\right\}yz\\+&\left\{1-(1+M)b''^{2}\right\}y^{2}+\left\{\operatorname {Cos} .\beta -(1+M)c''a''\right\}zx\\+&\left\{1-(1+M)c''^{2}\right\}z^{2}+\left\{\operatorname {Cos} .\gamma -(1+M)a''b''\right\}xy\\\end{aligned}}\right\}=N.\quad (6)$

Cette équation ne devra donc différer de l’équation (1) que par le facteur ${\frac {N}{E}}.$ Exprimant donc qu’il est ainsi, nous aurons les six équations

${\begin{array}{rr}E\left\{1-(1+M)a''^{2}\right\}=AN,\,&E\left\{\operatorname {Cos} .\alpha -(1+M)b''c''\right\}=A'N,\\E\left\{1-(1+M)b''^{2}\right\}=BN,\,&E\left\{\operatorname {Cos} .\beta -(1+M)c''a''\right\}=B'N,\\E\left\{1-(1+M)c''^{2}\right\}=CN\,;&E\left\{\operatorname {Cos} .\gamma -(1+M)a''b''\right\}=C'N.\\\end{array}}$

En y faisant

1. En général, $v$ étant l’axe de révolution, l’équation d’une surface quelconque de révolution est de la forme
   $t^{2}+u^{2}=f(v)\,;$

   mais ici où la surface est du second ordre et a son centre à l’origine, on doit avoir $f(v)=Mv^{2}+N\,;\;M$ et $N$ étant deux constantes.

   (Note de l’auteur.)