Cette dernière proposition a été démontrée pour la première fois par M. Le Français, dans son Application de l’algèbre à la géométrie. On voit avec quelle simplicité elle se déduit de notre théorie.
THÉORÈME IV. Si quatre droites partant des sommets d’un tétraèdre concourent en un même point de l’espace, leurs parallèles respectives, partant des centres de gravité des aires des faces opposées concourront aussi en un même point, et réciproquement. En outre, la droite qui joindra ces deux points contiendra aussi le centre de gravité du volume du tétraèdre, lequel la divisera en deux parties dont l’une sera quadruple de l’autre.
Démonstration. Soient les sommets du tétraèdre, les centres de gravité des aires des faces opposées, et le centre de gravité du volume de ce tétraèdre, seront les sommets d’un tétraèdre semblable à dont les arêtes, quatre fois moindre que les siennes, leur seront respectivement parallèles. Il est de plus aisé de voir que sera le centre commun de gravité des volumes de ces deux tétraèdres, et conséquemment leur centre de similitude.
Soit un point de l’espace situé d’une manière quelconque par rapport au premier tétraèdre, et soit son homologue par rapport au second ; ces deux points devront être en ligne droite avec le centre, de similitude et, comme on a on devra avoir aussi Enfin, les points et étant des points homologues et les deux tétraèdres ayant les arêtes parallèles, chacune à chacune, les droites devront être respectivement parallèles à leurs homologues ce qui complète la démonstration de notre théorème.
Remarque. Il a été démontré (tom. II, pag. 141 et 143) que, dans un tétraèdre dont les arêtes opposées sont respectivement perpendiculaires, les perpendiculaires abaissées des sommets sur les plans des faces, ainsi que les perpendiculaires élevées aux plans
