La loi de ces formules est facile à saisir. Si le nombre des facteurs dans le premier membre est son coefficient sera . Le second membre contiendra des m.mes puissances de polynômes, de termes chacun, formés de tous les facteurs dont il s’agit ; ces polynômes seront au nombre de Il y en aura un et un seul où tous les termes seront positifs ; où chaque terme sera à son tour négatif ; ou deux termes seront tour-à-tour négatifs et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à rendre la moitié des termes négatifs, si est pair, ou la moitié de si est impair. Ces puissances de polynômes ont d’ailleurs le signe ou le signe , suivant que le nombre de leurs termes négatifs est pair ou impair.
IV. Dans le mémoire cité plus haut, M. Laplace rappelle qu’environ un siècle avant l’invention des logarithmes, on avait déjà eu l’idée ingénieuse de faire servir les tables de sinus naturels à abréger les multiplications, et cela au moyen de la formule
En séparant, en effet, sur la droite des deux facteurs un nombre de chiffres décimaux suffisant pour les rendre l’une et l’autre moindres que l’unité, on pourra les considérer comme les cosinus tabulaires des deux arcs que l’on trouvera dans les tables. Cherchant donc, dans les mêmes tables, les cosinus de et de leur demi-somme, en y rétablissant la virgule où il convient, sera le produit cherché.
Rien n’est plus facile que d’étendre cette méthode à la recherche immédiate du produit de trois ou d’un plus grand nombre de facteurs ; on a, en effet,
