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DES ASTRES.

lement, il s’ensuit qu’elle se trouve déterminée par le système de ces deux équations, et conséquemment aussi par tout système de deux équations qui auront lieu en même-temps que celles-là. Il est d’ailleurs aisé de voir que les plans donnés par ces deux équations sont perpendiculaires l’un à l’autre.

Or, si l’on élimine successivement entre elles deux quelconques des trois variables $x,y,z,$ on obtiendra la double équation

${\frac {x}{D}}={\frac {y}{E}}={\frac {z}{F}}.\qquad$(48)

Ainsi, la ligne des apsides n’est autre chose que l’axe de révolution de la surface (47) ; et l’on peut prendre pour ses équations

$x={\frac {D}{F}}z,\qquad y={\frac {E}{F}}z.\qquad$(51)

On aura donc les coordonnées de l’aphélie et celles du périhélie, en combinant ces équations avec l’équation (47) mise sous la forme

$\left(Dx+Ey+Fz+G^{2}\right)^{2}=\mu ^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right),$

ce qui donnera, en ayant égard à l’équation (46),

$x=\pm {\frac {DG^{2}}{H(\mu \mp H)}},\quad y=\pm {\frac {EG^{2}}{H(\mu \mp H)}},\quad z=\pm {\frac {FG^{2}}{H(\mu \mp H)}},\quad$(52)

Il est évident que les signes supérieurs répondant à l’aphélie, et les signes inférieurs au périhélie.

Si ensuite on désigne respectivement par $p$ et $P$ les distances périhélie et aphélie, lesquelles ne sont autre chose que les distances de l’origine aux deux points que nous venons de déterminer ; on aura, en ayant toujours égard à l’équation (46)

$p={\frac {G}{\mu +H}},\qquad P={\frac {G}{\mu -H}},\qquad$(53)

Le demi-grand axe sera la demi-somme de ces deux quantités ; de sorte qu’en le désignant par $a,$ on aura

$a={\tfrac {1}{2}}(p+P)={\frac {Gp}{\mu ^{2}-H^{2}}}.\qquad$(54)