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RÉSOLUES.

$1+p^{2}+q^{2}=0,\quad$d’où$\quad 1+p^{2}=-q^{2}\quad$et$\quad 1+q^{2}=-p^{2}\,;$

donc

$x=2\varphi '\left({\frac {pq}{1+q^{2}}}\right)=2\varphi '\left({\frac {-q}{p}}\right)=2\varphi '(\alpha ).$

Mais, en éliminant $y$ et $z$ entre l’équation

$y=x\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi z}{4a}},$

et ses deux différentielles du premier ordre, on obtient

$x={\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {q}{p^{2}+q^{2}}}=-{\frac {4a}{\varpi }}q=-{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {\sqrt {-1-\alpha ^{2}}}{\alpha }}\,;$

on a donc d’un côté

$x=2\varphi '(\alpha ),$

et de l’autre

$x=-{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {\sqrt {-1-\alpha ^{2}}}{\alpha }}\,;$

donc

$2\varphi '(\alpha )=-{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {\sqrt {-1-\alpha ^{2}}}{\alpha }},\quad$d’où$\quad \varphi '(\alpha )=-{\frac {2a}{\varpi }}.{\frac {A}{\alpha }}$