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RÉSOLUES.

L’équation (A) a été intégrée par M. Legendre dans les Mémoires de l’académie des sciences de Paris, pour 1787. Ce géomètre a trouvé que $\alpha$ et $\beta$ étant les deux racines de l’équation

$\left(1+q^{2}\right)\alpha ^{2}-2pq\alpha +\left(1+p^{2}\right)=0\qquad$(C)

en posant

$A={\sqrt {-1-\alpha ^{2}}},\qquad B={\sqrt {-1-\beta ^{2}}}\,;$

contour. Mais, de toutes les surfaces passant par nos diagonales inverses, est-elle la seule qui résolve le problème ? Ne pourrait-on pas, par exemple, demander la moindre surface entre toutes celles qui passent par le quadrilatère gauche que détermine sur la surface du cube la surface gauche du second degré dont il a été question tout-à-l’heure ? et cette surface minimum, qui doit être différente de notre surface du second ordre, et dont l’existence ne parait guère pouvoir être contestée, ne sera-t-elle pas moindre que la surface minimum dont il est question dans la présente solution ? En un mot, par combien de courbes données peut-on se proposer de faire passer une surface minimum, pour que cette surface soit possible et unique, C’est là un point sur lequel aucun des traités d’analise, même les plus complets, ne s’exprime nettement.

Quoi qu’il en soit ; toujours est-il vrai de dire que rien ne prouve que la surface minimum trouvée ici soit celle qui résout la question, telle qu’elle a été proposée. Il ne s’agissait pas simplement, en effet, de trouver la surface de moindre étendue, entre toutes celles qui passent par les diagonales inverses des deux bases du cube ; mais de trouver, entre toutes les surfaces qui passent par ces diagonales, celle dont la partie interceptée dans le cube a la moindre étendue possible ; et il se pourrait fort bien que la surface gauche du second ordre, qui pourtant n’est pas la moindre de toutes celles qui remplissent cette condition, fût néanmoins, entre ces limites, d’une moindre étendue que celle qu’on donne ici. Ce serait, au surplus, une chose facile à vérifier.

Le problème général, dont celui-ci est un cas particulier, serait le suivant : Deux portions de courbes, isolées l’une de l’autre, se terminant de part et d’autre à deux surfaces courbes, aussi isolées l’une de l’autre étant données ; faite passer par ces deux courbes une surface dont l’étendue, comprise entre elles et les deux surfaces données, soit la moindre possible ?

J. D. G.