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RÉSOLUES.

$y=x\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi z}{4a}}.$

Toute valeur constante donnée à $z$ dans cette équation la réduira à celle d’une ligne droite, ainsi que cela doit être, puisque les fibres horizontales sont rectilignes : mais on voit qu’il n’en sera pas de même des valeurs constantes données à $x$ ou $y,$ qui conserveront à l’équation sa forme transcendante. On trouvera, en particulier, pour les intersections de la surface dont il s’agit avec les deux faces du cube parallèles aux plans des $yz,$ la double équation

$y=\pm a\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi z}{4a}}.$

Il faudrait bien se garder de confondre cette surface avec la surface gauche du second ordre qu’engendre, par son mouvement, une droite qui, passant constamment par les diagonales inverses des deux bases de notre cube, ne cesse point, dans son mouvement, d’être parallèle au plan des $yz.$ L’équation de cette surface est évidemment

$y={\frac {xz}{a}}\,;$

et ses intersections avec la surface du cube sont quatre diagonales formant un quadrilatère gauche ; elle coupe d’ailleurs la surface à laquelle nous venons de parvenir suivant les axes des $x$ et des $z.$

Si l’on demandait généralement de déterminer la surface minimum, entre des limites données ; en posant, suivant l’usage, $\operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,$ $\operatorname {d} ^{2}z=r\operatorname {d} ^{2}x+2s\operatorname {d} x\operatorname {d} y+t\operatorname {d} ^{2}y,$ on remarquerait que l’élément de cette surface étant $\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}},$ l’équation du problème doit être