portion quelconque, par une ou plusieurs lignes droites ou courbes, formant une figure fermée, l’aire de la portion de surface déterminée par cette figure soit moindre que celle de toute autre surface se terminant au même contour.
Cette propriété, qu’on peut regarder comme caractéristique, et sur laquelle M. Monge insiste en plusieurs endroits de son Application de l’analise à la géométrie, paraît précisément avoir été le fondement des scrupules de notre estimable professeur. « Soit tracée en effet, dit-il, sur la surface prétendue minimum, et que nous supposons déterminée par des conditions qui la rende différente d’une surface plane ; soit tracée, dis-je, sur cette surface une courbe plane fermée quelconque ; on pourra à la portion de surface circonscrite par cette courbe substituer une surface plane, se terminant au même contour ; surface de moindre étendue qu’elle, et qui, réunie à la partie excédante, formera conséquemment une surface totale moindre que la surface prétendue minimum. » La conclusion de ce raisonnement serait qu’il n’existe point d’autre surface minimum que le plan, et que conséquemment, lorsque les limites données de la surface minimum demandée sont de nature à ce que cette surface ne puisse être plane, il ne saurait proprement y avoir de surface minimum ; conclusion que la géométrie et la mécanique semblent également s’accorder à repousser.
Ne serait-il pas plus exact de remplacer ce raisonnement par le suivant : « Entre des lignes droites ou courbes, planes ou à double courbure, invariables de nature et de situation, il existe toujours une surface de moindre étendue que toute autre surface déterminée par les mêmes lignes ; puisqu’on peut toujours concevoir une toile parfaitement flexible et élastique tendue entre ces limites ; et qu’il se faudra bien enfin que cette toile affecte une forme déterminée. »
« Supposons que ces limites soient telles que la surface minimum ne puisse être plane, si l’on pouvait tracer sur elle une figure plane fermée quelconque ; en substituant à la portion de surface comprise dans l’intérieur de cette figure la surface plane terminée
