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DE TROIS.

1^er Cas. Si l’on suppose $e$ en raison directe de $a,$ il faudra (Déf. IV) qu’en supposant $a'=ma,$ on ait aussi $e'=me.$ La substitution de ces valeurs dans l’équation ci-dessus donnera, en plifiant et renversant,

$\operatorname {F} (m)=m\,;$

et conséquemment, en changeant $m$ en ${\frac {a'}{a}},$

$\operatorname {F} \left({\frac {a'}{a}}\right)={\frac {a'}{a}}\,;$

donc

$e'=e.{\frac {a'}{a}}.$

2.^me Cas. Si l’on suppose au contraire que $e$ est en raison inverse de $a$ ; il faudra (Déf. V) qu’en supposant $a'=ma$ on ait $e'={\frac {e}{m}}.$ La substitution de ces valeurs dans notre équation donne, en simplifiant et renversant,

$\operatorname {F} (m)={\frac {1}{m}}\,;$

ou, en changeant $m$ en ${\frac {a'}{a}},$

$\operatorname {F} \left({\frac {a'}{a}}\right)={\frac {a}{a'}}\,;$

donc

$e'=e.{\frac {a}{a'}}.$

PROBLÈME II. Un effet $e,$ produit par le concours de plusieurs causes, est en raison directe de quelques-unes $a,b,c,\ldots$ de ces causes, et en raison inverse des autres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ On suppose que d’autres causes $a',b',c',\ldots ,$$\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ respectivement homogènes aux premières, doivent concourir à la production d’un second effet, homogène à $e$ ; et l’on demande l’expression de ce nouvel effet ?