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MOUVEMENT

Ainsi, à distance périhélie égale, la vitesse périhélie dans le cercle est à la vitesse périhélie dans la parabole comme $1$ est à ${\sqrt {2}}.$

§. III.

Intégrales premières des équations du mouvement des astres.

D’après ce qui précède, en désignant par $x,y,z$ les coordonnées, pour l’époque $t,$ du centre d’un astre, rapporté à trois axes rectangulaires quelconques, passant par le centre du soleil, et en représentant par $r$ le rayon vecteur correspondant, on aura

$x''=-{\frac {\mu x}{r^{3}}},\quad y''=-{\frac {\mu y}{r^{3}}},\quad z''=-{\frac {\mu z}{r^{3}}},\qquad$(28)

et on aura de plus

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,:\qquad$(29)

d’où on déduira, par deux différentiations successives,

$xx'+yy'+zz'=rr',\qquad$(30)

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+xx''+yy''+zz''=r'^{2}+rr''.\qquad$(31)

Les équations (28), combinées successivement deux à deux, donnent, par l’élimination de $\mu ,$

$yz''-zy''=0,\quad zx''-xz''=0,\quad xy''-yx''=\,;0\qquad$(32)

d’où l’on conclut, en intégrant,

$yz'-zy'=A,\quad zx'-xz'=B,\quad xy'-yx'=C\qquad$(33)

$A,B,C$ étant trois constantes.

En multipliant successivement chacune de ces équations par les équations (28) renversées, sauf celle de même rang qu’elle, il vient

$\left.{\begin{array}{ll}{\frac {\mu z}{r^{3}}}(zx'-xz')+Bz''=0,&{\frac {\mu y}{r^{3}}}(xy'-yx')+Cy''=0,\\{\frac {\mu x}{r^{3}}}(xy'-yx')+Cx''=0,&{\frac {\mu z}{r^{3}}}(yz'-zy')\ +Az''=0,\\{\frac {\mu y}{r^{3}}}(yz'-zy')\ +Ay''=0,&{\frac {\mu x}{r^{3}}}(zx'-xz')+Bx''=0.\\\end{array}}\right\}(34)$