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DES ASTRES.

$(x+\varepsilon rCos.l)x''+(y+\varepsilon rSin.l)y''=-{\frac {(1+\varepsilon )\mu p}{r^{2}}}.\qquad$(24)

En combinant cette dernière équation avec l’équation (16), on en tire, en ayant toujours égard à l’équation (5),

$x''=-{\frac {\mu x}{r^{3}}},\qquad y''=-{\frac {\mu y}{r^{3}}}\,;\qquad$(25)

ce qui donne (4)

${\sqrt {x''^{2}+y''^{2}}}={\frac {\mu }{r^{2}}}\,;\qquad$(26)

et ensuite, au moyen de l’équation (9), en ayant encore égard à l’équation (5),

$r''={\frac {\mu }{p}}.{\frac {(1+\varepsilon )p-r}{r^{3}}}\qquad$(27)

L’équation (16) montre que les planètes sont mues en vertu d’une force d’impulsion combinée avec une force accélératrice, constamment dirigée vers le centre du soleil. L’équation (26) prouve que cette force, réciproquement proportionnelle au quarré de la distance de l’astre à ce centre, ne varie d’intensité, soit pour le même astre soit d’un astre à l’autre, qu’à raison de cette distance ; et c’est en cela proprement que consiste le principe de la gravitation.

Si nous désignons par $\nu$ la vitesse pour l’époque $t,$ nous aurons (20)

$\nu ^{2}={\frac {\mu }{p}}.{\frac {2p-(1-\varepsilon )r}{r}}.$

La vitesse au périhélie, pour lequel on a $r=p,$ sera donc

$\nu ={\sqrt {\frac {(1+\varepsilon )\mu }{p}}}.$

Faisant successivement $\varepsilon =0$ et $\varepsilon =1,$ on aura respectivement, pour le cercle et pour la parabole,

$\nu ={\sqrt {\frac {\mu }{p}}},\qquad \nu ={\sqrt {\frac {2\mu }{p}}}.$