mieux avec la courbe à quarrer, que le nombre des ordonnées cherchées est plus grand ; et il ne s’agit plus ensuite que d’intégrer la formule composée alors d’une suite de monômes intégrables.
D’après ce principe, M. Kramp a calculé douze formules, correspondant aux cas où l’on connaît ou ordonnées de l’espace à quarrer. L’usage de ces formules est très-simple. La substitution des valeurs connues des ordonnées donne, sur-le-champ, l’aire cherchée , plus exactement et plus brièvement que par les séries ou toute autre méthode connue.
M. Kramp s’est arrêté à la formule relative à ordonnées : « J’aurais désiré, dit-il, de pouvoir continuer cette table, jusqu’au diviseur ; mais l’immensité du travail m’a effrayé. Il doit sans doute y avoir quelque méthode beaucoup plus abrégée que celle que nous avons suivie ; mais, jusqu’ici du moins, je l’ai cherchée vainement. »
M. Kramp n’ayant pu trouver les formules relatives à un nombre d’ordonnées plus grand que a cherché à y suppléer, en combinant les formules de son tableau ; mais le surcroit d’exactitude qui en est résulté n’est pas assez important pour ne rien laisser à désirer. J’ai donc cherché à perfectionner un travail si utile ; j’ai vaincu la difficulté qui avait arrêté M. Kramp ; et j’ai eu la satisfaction de rencontrer une nouvelle manière de procéder, qui n’a rien de commun avec celle de cet habile géomètre, et qui permet de pousser l’approximation aussi loin qu’on le désire.
Le problème qui nous occupe peut être énoncé ainsi :
PROBLÈME. Connaissant les deux ordonnées extrêmes d’un arc de courbe, ainsi que plusieurs ordonnées intermédiaires distantes ; exprimer, en fonction de ces ordonnées, et de l’intervalle commun qui les sépare, l’aire mixtiligne comprise entre les ordonnées extrêmes, la courbe et l’axe des ?
