le plan or, le diamètre de dont tous les conjugués sont situés dans le plan est aussi un conjugué de donc aussi ce diamètre est dans le plan et coupe conséquemment la droite en quelque point
Il demeure donc établi par là que le système de diamètres conjugués dont les directions sont venant à varier d’une manière quelconque, de sorte cependant que l’un d’eux reste fixe, le plan coupera constamment, en un même point fixe, le diamètre de dont tous les conjugués sont dans le plan et, comme il est d’ailleurs connu qu’on peut toujours passer d’un système de diamètres conjugués à un autre quelconque, au moyen de trois transformations successives telles que, dans chacune d’elles, un des diamètres reste fixe[1], il s’ensuit que le théorème est complètement démontré.
- ↑ Cette proposition peut facilement être établie comme il suit :
Soient trois demi-diamètres conjugués ; et soient trois autres demi-diamètres conjugués, totalement différens des premiers.
Soit la droite suivant laquelle se coupent les plans de et de et soit la droite suivant laquelle se coupent les plans et étant dans le plan sera l’un des conjugués de qui, réciproquement, sera l’un des siens ; mais, parce que est dans le plan sera aussi l’un des conjugués de donc, le plan sera le plan des conjugués de puis donc que le plan est également le plan des conjugués de il s’ensuit que forme un système de diamètres conjugués, ayant le demi-diamètre commun avec le premier.
Soit la droite suivant laquelle se coupent les plans et étant le plan des conjugués de et le plan des conjugués de il s’ensuit que forment un système de diamètres conjugués, ayant le diamètre commun avec le second.
Enfin, est un quatrième système de diamètres conjugués ayant le diamètre commun avec le troisième ; ce qui démontre complètement la proposition annoncée.
On peut déduire bien simplement de ces considérations une propriété remarquable des diamètres conjugués. Supposons, par exemple, pour fixer les idées, qu’il soit question de l’ellipsoïde, et considérons les quatre systèmes
