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DES DÉRIVATIONS.

26. Remarque. La question traitée au n.^o précédent est une espèce de retour double : on pourrait en former de pareilles sur des retours triples, quadruples, etc. : le principe de leurs solutions se déduit aisément de celle du n.^o précédent ; et leur développement par les dérivations s’exécuterait aussi facilement que leur complication naturelle peut le permettre.

27. Depuis le commencement de cet article, nous n’avons fait qu’établir les formules générales du retour des fonctions et des séries ; occupons-nous maintenant de leur développement complet et effectif. Reprenons, à cet effet, les problèmes du n.^o 23, et proposons-nous de développer complètement les coefficiens successifs $B,B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ de l’équation (38).

Comme nous avons vu, aux n.^os 18 et 22, que $a_{1}$ devait être considéré comme un premier terme de polynôme, dans l’équation (20) ou (22), et que d’ailleurs les quantités $a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ peuvent être quelconques ; nous les remplacerons par $c,c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,$ afin de conserver la régularité dans les développemens ; ainsi, l’équation (20) ou (22) deviendra

(47)$\qquad y=x\operatorname {f} (\alpha +x)=x\left(c+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots \right)$

Au moyen de cette observation, le problème en question se réduit à développer les termes $B,B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ des équations (36), en y substituant $c$ à la place de $a_{1},$ et de $\phi b$ à la place de $A\,;$ ce qui donne

(48)$\qquad 1B_{1}=c^{-1}\operatorname {D} .\phi b,\quad 2B_{2}=\operatorname {D} .\left(c^{-2}\operatorname {D} .\phi b\right),$

$3B_{3}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\left(c^{-3}\operatorname {D} .\phi b\right)\ldots$

En comparant ces termes avec la formule (17), on voit aisément que leur développement doit s’exécuter par la même règle, en observant cependant qu’ici la fonction $\phi a$ est remplacée par une puissance négative de $c,$ dont l’exposant est égal à l’indice du terme ; et que la fonction $\psi b$ est remplacée par $\operatorname {D} .\phi b.$ Avec cette attention, on aura, en suivant la règle du n.^o 15, les développemens suivans, analogues à ceux (18)