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DES DÉRIVATIONS.

sances de cette dernière fonction, Cette question contient le problème général du retour des fonctions et des séries.

22. Proposons-nous de transformer le polynôme

(30)$\qquad A+A_{1}x+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\ldots ,$

procédant selon les puissances de la variable principale $x$, en un polynôme

(31)$\qquad B+B_{1}y+B_{2}y^{2}+B_{3}y^{3}+\ldots ,$

procédant selon les puissances de $y,$ dont la valeur est supposée donnée par l’équation (20)

$y=x\left(a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+\ldots \right).$

En comparant le polynôme (30) avec l’équation (21), et le polynôme (31) avec l’équation (19), on obtient

(32)$\qquad A=\phi a,\ A_{1}=\operatorname {D} .\phi a,\ A_{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a,\ A_{3}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a,\ldots \,;$

(33)$\qquad B=\phi a,\ B_{1}=\operatorname {D} \phi a,\ B_{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a,\ B_{3}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a,\ldots \,;$

Ici, ce sont les dérivées suivies d’un point qui sont données immédiatement ; et la question se réduit à en déduire celles sans points. On pourrait la résoudre en tirant les valeurs de ces dernières des équations (10), par des éliminations successives ; mais, outre que ce moyen serait trop long, il est peu propre à faire découvrir la loi qui y règne : il est bien plus simple de les former immédiatement de la manière suivante.

On a, d’après les n.^os 6 et 7, $\operatorname {D} .\phi a=\operatorname {D} \phi a.a_{1},$ et par conséquent $\operatorname {D} \phi a=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a\,;$ donc, en répétant l’opération indiquée par cette équation, on obtient

(34)$\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {D} \phi a=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a,\\&\operatorname {D} ^{2}\phi a=\operatorname {D} \left(\operatorname {D} \phi a\right)=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\left(a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a\right),\\&\operatorname {D} ^{3}\phi a=\operatorname {D} \left(\operatorname {D} ^{2}\phi a\right)=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\left[a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\left(a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a\right)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}\right.$