quantités polynômiales en et un nombre des quantités polynômiales en de manière qua la somme de tous les indices de chaque produit soit égale à Quant aux coefficiens numériques de chaque produit, on les obtient en multipliant l’un par l’autre le nombre qui indique celui des permutations qu’on peut faire, entre les quantités polynômiales en et le nombre qui indique celui des permutions qu’on peut faire entre les quantités polynômiales en
Ainsi, le coefficient de dans est
c’est-à-dire,
qui contient en effet tous les produits possibles de deux quantités polynômiales en et de trois en de manière que la somme des indices soit égale à ; et qui a des coefficiens numériques qui suivent la loi que nous venons d’indiquer.
On pourrait donc, au moyen de cette loi, qui est d’ailleurs la même pour une fonction quelconque de deux polynômes indépendans, former immédiatement un terme quelconque du développement, par la théorie des combinaisons ; ce qui donnerait une extension considérable à l’analise combinatoire de Hindenburg ; mais le moyen que nous donnerons par la suite sera à la fois plus simple, plus direct et plus, analitique.
On remarquera sans doute que la simplicité de l’énoncé de cette loi, ainsi que de celle du n.o 10, n’est due qu’au choix que nous avons fait d’indices numériques, pour représenter les quantités polynômiales ; elle n’aurait pu s’énoncer que très-difficilement, avec les lettres dans l’ordre alphabétique, employées par Arbogast et Hindenburg. Ces lettres à indices ont encore l’avantage d’indiquer, de la manière la plus caractéristique, leurs relations avec les dérivées du premier terme du polynôme, puisqu’on a généralement
